目錄
前言
第1章 三角形外（內）側多角形中有向面積的定值定理與應用 1
1.1 三角形外（內）側（λ，μ）三角形有向面積的定值定理與應用 1
1.1.1 三角形外（內）側（λ，μ）三角形的概念 1
1.1.2 三角形外（內）側（λ，μ）三角形有向面積公式與應用 2
1.1.3 三角形外（內）側（λ，μ）三角形中有向面積的定值定理與應用 5
1.2 三角形各邊外（內）側三角形有向面積的定值定理與應用 10
1.2.1 三角形各邊外（內）側三角形的概念 10
1.2.2 三角形各邊外（內）側三角形有向面積定值定理與應用 10
1.2.3 三角形各邊外（內）側相似三角形有向面積的定值定理與應用 14
1.3 三角形外（內）側多邊（角）形有向面積的定值定理與應用 18
1.3.1 三角形各邊外（內）側多邊（角）形的概念 18
1.3.2 三角形外（內）側正方形中有向面積的定值定理與應用 19
1.3.3 三角形外（內）側相似長方形中有向面積的定值定理與應用 25
1.3.4 三角形外（內）側平行四邊形中有向面積的定值定理與應用 28
1.4 三平行四邊形中有向面積的定值定理及其應用 33
1.4.1 三角形三平行四邊形的概念 33
1.4.2 三角形三平行四邊形有向面積的定值定理與應用 33
第2章 多角形右（左）側多角形中有向面積的定值定理與應用 36
2.1 多角（邊）形右（左）側（λ，μ）多角（邊）形中有向面積的定值定理與應用 36
2.1.1 多角（邊）形右（左）側（λ，μ）多角（邊）形的概念 36
2.1.2 多邊形右（左）側（λ，μ）多邊形有向面積的性質 37
2.1.3 多角形右（左）側（λ，μ）多角形重心的性質與應用 39
2.1.4 一頂點重合的兩相似長方形中有向面積的定值定理與應用 40
2.1.5 四邊形左、右側（λ，μ）四角形中有向面積的定值定理 42
2.2 多角（邊）形各邊右（左）側三角形中有向面積的定值定理與應用 44
2.2.1 多角（邊）形各邊右（左）側三角形的概念 44
2.2.2 2n+1角形各邊右（左）側相似三角形中有向面積的定值定理 44
2.2.3 2n+1角形各邊右（左）側相似三角形中有向面積的定值定理的應用 47
2.3 n角形中 n相似形中有向面積的定值定理及其應用 50
2.3.1 n角（邊）形的n相似形的概念 50
2.3.2 n角形中n相似四邊形有向面積的定值定理及其應用 51
2.3.3 n角形中n相似平行四邊形有向面積的定值定理與應用 56
第3章 垂足多邊形有向面積的定值定理與應用 59
3.1 垂足三角形有向面積公式與應用 59
3.1.1 垂足三角形的概念 59
3.1.2 垂足三角形有向面積的定值定理 59
3.1.3 垂足三角形有向面積定值定理的應用 62
3.2 垂足多角形（多邊形）中有向面積的定值定理與應用 65
3.2.1 垂足多角形（多邊形）的概念 65
3.2.2 圓內接多角形的垂足多邊形有向面積公式與應用 66
3.2.3 圓內接多邊形的垂足多邊形有向面積公式與應用 68
3.3 垂足的性質定理與應用 72
3.3.1 三角形垂足的性質定理與應用 72
3.3.2 多角形垂足的性質定理與應用 74
3.4 完全四邊形的垂足四邊形有向面積的定值定理與應用 78
3.4.1 完全四邊形的垂足四邊形的概念 78
3.4.2 垂足四邊形有向面積的定值定理與應用 80
第4章 圓錐曲線外切三角形中有向面積的定值定理與應用 83
4.1 Ceva線三角形有向面積的定值定理與應用 83
4.1.1 Ceva線三角形的概念 83
4.1.2 Ceva線三角形有向面積的定值定理 83
4.1.3 Ceva線三角形有向面積的定值定理的推廣 88
4.2 頂切點線三角形中有向面積的定值定理與應用 90
4.2.1 圓錐曲線與圓錐曲線外切三角形的概念 90
4.2.2 各類圓錐曲線外切三角形中有向面積的定值定理 92
4.2.3 圓錐曲線外切三角形中有向面積的定值定理與應用 98
4.3 圓錐曲線外切三角形中兩個結論的推廣與證明 101
4.3.1 橢圓外切三角形中一個結論的推廣與證明 102
4.3.2 Lemoine線定理的證明 104
4.4 圓錐曲線外切三角形中有向面積的定值定理與應用 108
4.4.1 橢圓外切三角形中有向面積的定值定理及其應用 108
4.4.2 圓外切三角形中有向面積的定值定理與應用 111
第5章 圓錐曲線多角形中有向面積的定值定理與應用 114
5.1 圓錐曲線外切n(n≥4）角形中有向面積的定值定理與應用 114
5.1.1 圓錐曲線外切多角形的概念與記號 114
5.1.2 各類圓錐曲線外切n(n≥4）角形中有向面積的定值定理 115
5.1.3 統一的圓錐曲線外切n(n≥4）角形中有向面積的定值定理 122
5.1.4 圓錐曲線外切n(n≥4）角形中有向面積的定值定理的應用 126
5.2 圓錐曲線外切mn(m，n≥2）角形中有向面積的定值定理與應用 132
5.2.1 各類圓錐曲線外切mn(m，n≥2）角形中有向面積的定值定理 132
5.2.2 統一的圓錐曲線外切mn(m，n≥2）角形中有向面積的定值定理 135
5.2.3 圓錐曲線外切mn(m，n≥2）角形中有向面積的定值定理的應用 137
5.3 圓錐曲線外切2n+1(n≥1）角形中有向面積的定值定理與應用 141
5.3.1 頂切點線三角形的概念與記號 141
5.3.2 各類外切2n+1(n≥1）角形中有向面積的定值定理 142
5.3.3 統一的圓錐曲線外切2n+1(n≥1）角形中有向面積的定值定理 151
5.3.4 圓錐曲線外切2n+1(n≥1）角形中有向面積的定值定理的應用 154
第6章 圓錐曲線內接、外切多角（邊）形中有向面積的定值定理與應用 158
6.1 橢圓內接多邊形的最值定理與應用 158
6.1.1 橢圓內接多邊形的最值定理 158
6.1.2 面積最大的橢圓內接六邊形中有向面積的定值定理與應用 160
6.1.3 面積最大的橢圓內接五邊形、四邊形中有向面積的定值定理與應用 162
6.2 面積最大的橢圓內接多邊形中有向面積的定值定理與應用 166
6.2.1 橢圓內接2n邊形的性質 167
6.2.2 面積最大的橢圓內接4n邊形中點線三角形有向面積的定值定理與應用 167
6.2.3 面積最大的橢圓內接4n+2邊形中點線三角形有向面積的定值定理與應用 169
6.2.4 面積最大的橢圓內接十二邊形對角線三角形有向面積的定值定理與應用 171
6.3 橢圓內接多角形中有向面積的定值定理與應用 173
6.3.1 一類橢圓內接六角形中點線三角形有向面積的定值定理與應用 173
6.3.2 一類橢圓內接十角形中點線三角形有向面積的定值定理與應用 176
6.4 圓錐曲線內接多角形中幾個定理的證明 180
6.4.1 圓錐曲線內接六角形的Pascal定理及其證明 181
6.4.2 退化圓錐曲線內接六角形中的Pascal定理及其證明 184
6.5 圓錐曲線內接、外切多邊形有向面積之間的關系定理 186
6.5.1 橢圓內接、外切三角形有向面積之間的關系定理 186
6.5.2 雙曲線內接、外切三角形有向面積之間的關系定理 187
6.5.3 Mobius定理的推廣與證明 188
第7章 線型三角形有向面積公式與應用 190
7.1 線型三角形有向面積公式 190
7.1.1 三直線組一、二階行列式的概念與性質 190
7.1.2 線型三角形有向面積公式 192
7.2 線型三角形有向面積公式在面積關系問題證明中的應用 196
7.2.1 線型三角形有向面積公式在圓錐曲線法線三角形面積求解中的應用 197
7.2.2 線型三角形有向面積公式在數學競賽題面積關系式證明中的應用 199
7.3 三線共點的充要條件與應用 209
7.3.1 三直線共點的充要條件 209
7.3.2 三線共點充要條件在三直線共點證明中的應用 212
7.3.3 三線共點充要條件在三點共線證明中的應用 230
7.3.4 三線共點充要條件在兩線垂直證明中的應用 234
7.4 平面六點組坐標行列式的一個性質與應用 236
7.4.1 平面六點組坐標行列式的概念 237
7.4.2 平面六點組坐標行列式的性質 237
7.4.3 平面六點組坐標行列式性質的應用 240
7.5 兩三角形的垂三角形有向面積的定值定理及應用 241
7.5.1 兩三角形的垂三角形有關的概念 242
7.5.2 兩三角形及其垂三角形有向面積的關系定理及其應用 243
7.5.3 兩三角形的頂點向量數量積的定值定理及其應用 245
7.5.4 兩三角形頂點間距離的關系定理及其應用 246
7.5.5 兩個三角形外正方形中心三角形有向面積的關系定理及其應用 248
7.6 三角形與圓錐曲線交點的垂線三角形（有向）面積公式及應用 250
7.6.1 三角形各邊所在直線與橢圓交點的垂線三角形（有向）面積公式及其應用 250
7.6.2 三角形各邊所在直線與雙曲線交點的垂線三角形（有向）面積公式及其應用 253
7.6.3 三角形各邊所在直線與拋物線交點的垂線三角形（有向）面積公式及其應用 255
7.6.4 三角形各邊所在直線與圓錐曲線交點的垂線三角形（有向）面積公式及其應用 257
第8章 有向面積公式在不等式證明中的應用 260
8.1 三角形有向面積公式在幾何不等式證明中的應用 260
8.1.1 三角形與其λ-分點三角形面積關系不等式與應用 260
8.1.2 三角形有向面積公式在數學競賽題證明中的應用 262
8.2 三角形（有向）面積關系式在幾何不等式證明中的應用 266
8.2.1 三角形諸心、諸點三角形（有向）面積公式在不等式證明中的應用 266
8.2.2 橢圓內接、外切三角形有向面積之間的關系在證明不等式中的應用 268
8.2.3 三角形與其定比分點線三角形有向面積關系定理及其應用 269
8.3 多邊形（有向）面積公式在幾何不等式證明中的應用 280
8.3.1 凸多邊形與其λ-定比分點多邊形面積關系不等式與應用 280
8.3.2 三角形中一個多邊形有向面積關系定理及其應用 282
8.3.3 凸四邊形與其分點四邊形面積關系定理與應用 287
8.3.4 正六邊形與其內接平行四邊形面積關系定理與應用 289
第9章 有向距離與有向面積間的關系與應用 292
9.1 兩點間有向距離與三角形有向面積的關聯問題與應用 292
9.1.1 n角形中關系兩點間有向距離和三角形有向面積的問題與應用 292
9.1.2 正多邊形中關系兩點間有向距離和三角形有向面積的問題 294
9.1.3 平面五點組中關系兩點間有向距離和三角形有向面積的問題 298
9.2 點到直線有向距離與有向面積間的關系與應用 299
9.2.1 點到直線有向距離與有向面積之間的關系 299
9.2.2 有向距離與有向面積關系命題的等價性 301
9.2.3 四邊形（1，μ）外（內）側四角形中有向距離和有向面積的定值定理 306
9.3 三角形中有向距離與有向面積的定值定理與應用 308
9.3.1 三角形中有向距離與邊三角形、中線三角形有向面積的定值定理與應用 308
9.3.2 三角形中有向距離與高線三角形等有向面積的定值定理與應用 311
9.3.3 三角形旁切圓中有向距離與有向面積的定值定理與應用 316
9.3.4 三角形外、內側正方形中有向距離與有向面積的定值定理與應用 320
9.3.5 三角形面積與高足線距離之間的關系 322
9.4 梯形中有向距離與有向面積的定值定理與應用 324
9.4.1 梯形中有向距離與有向面積的定值定理 324
9.4.2 梯形中有向距離與有向面積定值定理的應用 326
參考文獻 331
名詞索引 334