作者根據(jù)多年來(lái)學(xué)習(xí)和講授隨機(jī)過(guò)程的經(jīng)驗(yàn), 以及在研究工作中長(zhǎng)期積累的自己的理解、體會(huì)和心得, 寫(xiě)下了本書(shū)。本書(shū)主要講述現(xiàn)代隨機(jī)過(guò)程的基礎(chǔ)知識(shí), 包括隨機(jī)過(guò)程的總體概念和術(shù)語(yǔ), 可選性與循序可測(cè)性, 經(jīng)典Wiener空間, Brown運(yùn)動(dòng), 離散時(shí)間鞅與連續(xù)時(shí)間鞅, Markov過(guò)程與半群, 強(qiáng)馬氏性與擴(kuò)展馬氏性, Ito隨機(jī)積分, 一般半鞅的隨機(jī)積分, Ito公式, Ito公式的一些重要應(yīng)用, 隨機(jī)微分方程的各種不同的解的概念及其關(guān)系, 強(qiáng)解的存在唯一性, 隨機(jī)微分方程與偏微分方程的粘性解等。
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目錄
前言
第1章 通用概念 1
1.1 概率空間 2
1.2 隨機(jī)過(guò)程 3
1.3 停時(shí) 6
1.4 適應(yīng)過(guò)程與循序可測(cè)過(guò)程 8
1.5 時(shí)變 10
1.6 可選過(guò)程 12
1.7 初遇與截口 17
1.8 Kolmogorov連續(xù)性準(zhǔn)則 19
1.9 連續(xù)過(guò)程的弱收斂性 22
習(xí)題1 26
第2章 Brown運(yùn)動(dòng) 30
2.1 定義及構(gòu)造 31
2.2 基本性質(zhì) 35
2.2.1 軌道的H*lder連續(xù)性 35
2.2.2 軌道的平方變差 35
2.2.3 自相似性 38
2.3 Brown運(yùn)動(dòng)的Markov性 39
2.4 Wiener空間與Wiener積分 51
2.5 經(jīng)典Wiener空間與Cameron-Martin定理 57
習(xí)題2 60
第3章 離散時(shí)間鞅 65
3.1 基本定義 65
3.2 Doob分解 68
3.3 鞅與停時(shí) 69
3.4 平方變差過(guò)程 81
3.5 鞅的收斂定理 87
3.6 逆鞅 92
3.7 鞅收斂定理的初步應(yīng)用例子 96
3.7.1 條件期望的計(jì)算 96
3.7.2 無(wú)窮維分布的絕對(duì)連續(xù)性 98
3.7.3 Kolmogorov大數(shù)定律 102
習(xí)題3 103
第4章 連續(xù)時(shí)間鞅 108
4.1 隨機(jī)區(qū)間與簡(jiǎn)單過(guò)程 108
4.2 閉區(qū)間上的鞅 109
4.3 左閉右開(kāi)區(qū)間上的鞅 116
4.4 不連續(xù)鞅的例子 120
4.5 簡(jiǎn)單過(guò)程的隨機(jī)積分 121
4.6 平方變差過(guò)程 124
4.7 局部鞅 128
4.8 半鞅 134
4.9 時(shí)變下的半鞅 134
習(xí)題4 135
第5章 Markov過(guò)程與半群 139
5.1 Markov鏈：從一個(gè)例子談起 139
5.2 過(guò)程的Markov性與活動(dòng)概率空間 142
5.3 Markov族 149
5.4 擴(kuò)展Markov性與強(qiáng)Markov族 155
5.5 強(qiáng)Markov性的兩個(gè)應(yīng)用 161
5.5.1 Dynkin公式 161
5.5.2 Kolmogorov-It*不等式 162
5.6 與Markov過(guò)程聯(lián)系的半群 164
5.7 由生成元確定Markov過(guò)程 170
5.8 Markov過(guò)程與鞅 174
5.9 初始分布為任意概率測(cè)度的Markov過(guò)程 177
5.10 緊空間上的Markov族 180
習(xí)題5 182
第6章 關(guān)于Brown運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分 188
6.1 有限區(qū)間的情形 188
6.2 [0,∞)的情形 200
習(xí)題6 200
第7章 關(guān)于鞅的隨機(jī)積分 204
7.1 隨機(jī)Stieltjes積分 204
7.2 簡(jiǎn)單過(guò)程的隨機(jī)積分 206
7.3 可積函數(shù)類及其逼近 208
7.4 隨機(jī)積分的構(gòu)造及性質(zhì) 212
7.5 關(guān)于局部鞅的隨機(jī)積分 216
7.6 關(guān)于半鞅的隨機(jī)積分 217
7.7 隨機(jī)微分 217
7.8 隨機(jī)積分的積分號(hào)下取極限 219
7.9 隨機(jī)積分的Fubini定理 221
7.10 隨機(jī)積分與時(shí)間變換 225
7.11 Stratonovich積分 226
習(xí)題7 227
第8章 It*公式 230
8.1 一個(gè)分析引理 230
8.2 有限變差過(guò)程的It*公式 231
8.3 半鞅的It*公式 231
8.4 兩個(gè)直接應(yīng)用 235
8.4.1 常數(shù)變易法——Doss-Sussmann方法 235
8.4.2 狀態(tài)空間改變法——Zvonkin方法 237
習(xí)題8 238
第9章 It*公式的一些重要應(yīng)用 241
9.1 Lévy-Kunita-Watanabe定理 241
9.2 連續(xù)局部鞅作為Brown運(yùn)動(dòng)的時(shí)變 243
9.3 鞅的隨機(jī)積分表示(關(guān)于既定Brown運(yùn)動(dòng))247
9.4 鞅的隨機(jī)積分表示(關(guān)于待定Brown運(yùn)動(dòng))249
9.5 指數(shù)鞅與Girsanov定理 252
9.6 鞅的矩估計(jì)——BDG不等式 259
9.7 局部時(shí)與Tanaka公式 264
習(xí)題9 270
第10章 隨機(jī)微分方程 276
10.1 基本記號(hào) 278
10.2 解及其唯一性的定義 280
10.3 強(qiáng)解 283
10.4 Lipschitz系數(shù)的方程 286
10.5 Lipschitz條件下強(qiáng)解的存在唯一性 289
10.6 局部Lipschitz系數(shù)的方程 291
10.7 解的Markov性 293
10.8 更一般條件下強(qiáng)解的存在性 296
10.9 對(duì)初值的可微性 303
10.10 極限定理與時(shí)間反演 307
10.11 隨機(jī)同胚流 317
習(xí)題10 318
第11章 隨機(jī)微分方程與偏微分方程 323
11.1 基本記號(hào)和假設(shè) 324
11.2 橢圓方程 325
11.3 拋物方程 331
習(xí)題11 334
第12章 附錄 336
12.1 不等式 336
12.2 凸函數(shù) 339
12.3 Helly第二定理 340
12.4 特征函數(shù) 340
12.5 遞增函數(shù) 341
12.6 反函數(shù)定理 342
參考文獻(xiàn) 343
索引 348
書(shū)單推薦
