常微分方程是數學專業(yè)的專業(yè)必修課之一，主要包括一階微分方程的初等解法、分離變量與變量替換、線性微分方程與常數變易法、恰當微分方程、隱式微分方程解的參數表示、一階微分方程解的存在定理、高階微分方程、線性微分方程組等內容。本書從常微分方程的基本概念入手，逐步深入到不同類型的方程的求解方法和理論，內容安排循序漸進，邏輯清晰嚴謹。同時，書稿注重理論與實踐相結合，通過豐富的例題和解析，幫助讀者更好地理解和掌握常微分方程的應用。此外，本書還介紹了許多前沿的研究領域和實際應用案例，有助于激發(fā)讀者的學習興趣和創(chuàng)新思維。
楊云雁，中國人民大學數學學院教授、博士生導師。研究方向：基礎數學，長期從事教學和科研工作，發(fā)表過多篇有代表性的論文。
第 1 章 緒 論
1.1 一階常微分方程
1.2 常微分方程組和高階常微分方程
第 2 章 一階微分方程的初等解法
2.1 分離變量法
2.1.1 變量分離方程
2.1.2 可化為變量分離方程的類型
2.2 常數變易法
2.3 恰當微分方程
2.3.1 恰當微分方程
2.3.2 積分因子
2.4 隱式微分方程
2.4.1 可以解出 x 或 t 的方程
2.4.2 不顯含 x 或 t 的方程
第 3 章 解的存在唯一性定理
3.1 存在唯一性定理
3.2 解的延拓定理
3.3 解的最大存在區(qū)間估計
3.4 解對初值的連續(xù)可微性
3.4.1 解對初值的連續(xù)性
3.4.2 解對初值的可微性
第 4 章 高階微分方程
4.1 線性微分方程的一般理論
4.1.1 解的存在唯一性定理
4.1.2 線性齊次微分方程解空間的結構
4.1.3 線性非齊次微分方程解空間的結構
4.1.4 常數變易法
4.2 常系數線性微分方程
4.2.1 微分方程的復值解
4.2.2 常系數線性齊次微分方程
4.3 常系數線性非齊次微分方程的解法
4.3.1 比較系數法
4.3.2 拉普拉斯變換法
4.4 一般高階微分方程的若干解法
4.4.1 可降階的方程類型
4.4.2 冪級數解法
第 5 章 線性微分方程組
5.1 解的存在唯一性
5.1.1 高階微分方程轉化為微分方程組
5.1.2 存在唯一性定理
5.2 線性微分方程組的一般理論
5.2.1 線性齊次微分方程組
5.2.2 線性非齊次微分方程組
5.3 常系數線性微分方程組
5.3.1 矩陣指數與基解矩陣
5.3.2 特征根法
5.3.3 拉普拉斯變換法
第 6 章 微分方程組解的穩(wěn)定性
6.1 李雅普諾夫穩(wěn)定性的概念
6.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的判別法
6.2.1 線性齊次微分方程組零解的穩(wěn)定性
6.2.2 非線性微分方程組零解的穩(wěn)定性
6.3 李雅普諾夫第二方法
6.3.1 自治微分方程組的李雅普諾夫第二方法
6.3.2 非自治微分方程組的李雅普諾夫第二方法
參考文獻
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