目錄
前言
第一版前言
第1章 實數(shù)域和初等函數(shù) 1
1.1 實數(shù)的運算與序 1
1.2 實數(shù)域的完備性 7
1.2.1 完備性的含義.7
1.2.2 戴德金原理 8
1.2.3 確界原理 11
1.3 初等函數(shù) 14
1.3.1 冪的定義 14
1.3.2 冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù) 17
1.3.3 對數(shù)的存在性和對數(shù)函數(shù) 19
1.3.4 三角函數(shù)和反三角函數(shù) 21
1.3.5 初等函數(shù) 27
第2章 數(shù)列的極限 31
2.1 數(shù)列極限的定義 31
2.1.1 數(shù)列的概念.31
2.1.2 數(shù)列的極限及其定義 32
2.1.3 例題 37
2.1.4 用邏輯語言表述極限定義 40
2.2 數(shù)列極限的性質(zhì) 44
2.3 趨于無窮的數(shù)列和三個記號 52
2.3.1 趨于無窮的數(shù)列 52
2.3.2 三個記號 55
2.4 幾個重要定理 62
2.4.1 單調(diào)有界原理 62
2.4.2 一個重要的極限 65
2.4.3 區(qū)間套定理 66
2.4.4 列緊性原理 67
2.4.5 柯西收斂準(zhǔn)則 68
2.5 上極限和下極限 73
2.5.1 上極限和下極限的定義與性質(zhì) 73
2.5.2 上極限和下極限的運算 76
第2章 綜合習(xí)題 81
第3章 函數(shù)的極限和連續(xù)性 84
3.1 函數(shù)的極限 84
3.1.1 函數(shù)極限的定義 84
3.1.2 函數(shù)極限的性質(zhì)與運算 88
3.1.3 復(fù)合函數(shù)的極限 91
3.1.4 與數(shù)列極限的關(guān)系 94
3.2 函數(shù)的極限(續(xù)) 98
3.2.1 單側(cè)極限和無窮處的極限 98
3.2.2 兩個重要極限 101
3.2.3 無窮小量和無窮大量及其階的比較 103
3.2.4 部分極限和上、下極限 105
3.3 函數(shù)的連續(xù)性 110
3.3.1 函數(shù)連續(xù)性的定義 110
3.3.2 連續(xù)函數(shù)的運算 115
3.3.3 間斷點的分類 116
3.3.4 兩個例子 117
3.4 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).121
3.4.1 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 121
3.4.2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性 125
第3章 綜合習(xí)題 131
第4章 函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 135
4.1 導(dǎo)數(shù)的定義 135
4.1.1 導(dǎo)數(shù)概念的引出 135
4.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義 138
4.1.3 可導(dǎo)必連續(xù) 143
4.1.4 導(dǎo)數(shù)的四則運算 144
4.2 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 148
4.2.1 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 148
4.2.2 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 150
4.2.3 基本的求導(dǎo)公式 152
4.2.4 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 153
4.2.5 對數(shù)求導(dǎo)法 154
4.2.6 由參數(shù)方程所確定曲線的切線斜率 155
4.3 函數(shù)的微分 159
4.3.1 微分的定義 159
4.3.2 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 161
4.3.3 微分的運算法則 163
4.3.4 微分的幾何意義和在近似計算中的應(yīng)用 165
4.4 高階導(dǎo)數(shù) 168
4.4.1 高階導(dǎo)數(shù) 168
4.4.2 萊布尼茨公式 172
4.4.3 隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 173
4.4.4 高階微分 175
4.5 向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù).178
第4章 綜合習(xí)題 187
第5章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 189
5.1 微分中值定理 189
5.2 洛必達法則 197
5.3 利用導(dǎo)數(shù)判定兩個函數(shù)相等 207
5.4 函數(shù)的增減性與極值 214
5.4.1 函數(shù)增減性的判定 215
5.4.2 函數(shù)達到極值的充分條件 218
5.4.3 極值問題的應(yīng)用舉例 219
5.5 函數(shù)的凸凹性 224
5.5.1 凸函數(shù)和凹函數(shù) 224
5.5.2 利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的凸凹性 227
5.5.3 詹森不等式及其應(yīng)用 230
5.6 泰勒公式 234
5.7 方程求根的牛頓迭代公式 247
5.8 函數(shù)的作圖 252
第5章 綜合習(xí)題 258
第6章 不定積分 262
6.1 原函數(shù)與不定積分 262
6.2 換元積分法和分部積分法 267
6.2.1 第一換元積分法 267
6.2.2 第二換元積分法 269
6.2.3 分部積分法 273
6.3 幾類初等函數(shù)的積分 279
6.3.1 有理函數(shù)的積分 279
6.3.2 三角函數(shù)有理式的積分 284
6.3.3 某些無理函數(shù)的積分 289
第6章 綜合習(xí)題 295
部分習(xí)題參考答案和提示 297
參考文獻 321
附錄A 關(guān)于實數(shù)的進一步討論 322
附錄B 把有理真分式表示為最簡分式之和 336