序 言
1 近年來(lái)，在數(shù)學(xué)中已明顯地呈現(xiàn)出一種努力追求嚴(yán)格證明與精確理
解概念的趨勢(shì)。 _27
2 這種嚴(yán)格的考察最終也涉及基數(shù)的概念本身。證明的目的。 _29
3 這種研究的哲學(xué)動(dòng)機(jī)：對(duì)于數(shù)的法則是分析的真還是綜合的真，是
先天的還是后天的問(wèn)題的爭(zhēng)論。這些表達(dá)式的涵義。 _31
4 本書(shū)的任務(wù)。 _33
I 某些學(xué)者關(guān)于算術(shù)命題性質(zhì)的觀點(diǎn)
數(shù)的公式是可證的嗎？
5 康德否認(rèn)漢克爾有理由稱為悖論的東西。 _35
6 萊布尼茨關(guān)于 2 2 = 4 的證明有一個(gè)漏洞。格拉斯曼關(guān)于 a b
的定義是有缺陷的。 _39
7 密爾關(guān)于單個(gè)數(shù)的定義斷定了可觀察的事實(shí)，由此而來(lái)的計(jì)算的觀
點(diǎn)是沒(méi)有根據(jù)的。 _43
8 就合法性而言，這些定義并不需要對(duì)那些事實(shí)的觀察。 _47
算術(shù)的法則是歸納的真嗎？
9 密爾的自然法則。在把算術(shù)的真稱為自然法則時(shí)，密爾混淆了算術(shù)
的真與它的應(yīng)用。 _51
10 反對(duì)加法法則是歸納的真的理由：數(shù)的異質(zhì)性；我們并沒(méi)有通過(guò)定
義而獲得一個(gè)數(shù)的共同特性的集合。很可能反過(guò)來(lái)，歸納是以算術(shù)
為基礎(chǔ)的。 _55
11 萊布尼茨的天賦的。 _61
算術(shù)的法則是先天綜合的還是分析的？
12 康德。鮑曼。利普希茨。漢克爾。內(nèi)在直觀作為知識(shí)基礎(chǔ)。 _63
13 算術(shù)和幾何的區(qū)分。 _67
14 就其應(yīng)用領(lǐng)域而言，不同種類的真之間比較。 _69
15 萊布尼茨和耶芳斯的看法。 _71
16 反對(duì)他們的觀點(diǎn)，密爾對(duì)語(yǔ)言的巧妙運(yùn)用的嘲弄。記號(hào)并不因
為它不意謂可感知的事物就是空洞的。 _73
17 歸納的不充分性。數(shù)的法則是分析判斷的猜想；使用它們的情況如
何。對(duì)分析判斷的價(jià)值評(píng)估。 _75
II一些學(xué)者關(guān)于基數(shù)概念的觀點(diǎn)
18 研究基數(shù)的普遍概念的必要性。 _77
19 定義不能是幾何學(xué)的。 _79
20 數(shù)是可定義的嗎？漢克爾。萊布尼茨。 _81
基數(shù)是外在事物的一種性質(zhì)嗎？
21 G. 康托爾與 E. 施羅德的觀點(diǎn)。 _83
22 反對(duì)他們的觀點(diǎn)，鮑曼認(rèn)為：外在的事物并不表現(xiàn)嚴(yán)格的單位，基數(shù)
似乎取決于我們的理解。 _85
23 密爾的這種看法，即認(rèn)為數(shù)是事物聚集的性質(zhì)，是站不住腳的。 _89
24 數(shù)的廣泛的可應(yīng)用性。密爾。洛克。萊布尼茨的非物質(zhì)的形而上學(xué)
的圖形。如果數(shù)是某種可感覺(jué)的東西，那么，它就不能被歸為無(wú)感
覺(jué)的東西。 _91
25 密爾的關(guān)于 2 和 3 之間的物理的區(qū)別。根據(jù)貝克萊，數(shù)事實(shí)上不
是在事物之中，而是通過(guò)精神創(chuàng)造的東西。 _95
數(shù)是某種主觀的東西嗎？
26 利普希茨關(guān)于數(shù)的構(gòu)造的描述是不合適的，并且不能代替一種關(guān)于數(shù)
的概念的規(guī)定。數(shù)并不是某種心理的對(duì)象，而是某種客觀的東西。 _97
27 數(shù)并不像施羅米爾希所主張的那樣，是在一個(gè)序列中對(duì)象位置的
表象。 _103
作為集合的基數(shù)。
28 托邁的命名。 _107
III關(guān)于單位和一的觀點(diǎn)。
數(shù)詞一表達(dá)對(duì)象的一種性質(zhì)嗎？
29 ο 與單位這兩個(gè)表述的多義性。 E. 施羅德將單位解釋成
計(jì)數(shù)的對(duì)象似乎是無(wú)效的。形容詞一并不包含更進(jìn)一步的規(guī)定
性，不能起到謂詞作用。 _109
30 根據(jù)萊布尼茨和鮑曼所嘗試的定義，單位這個(gè)概念似乎完全消失了。
_113
31 鮑曼關(guān)于未分性與分界性的標(biāo)志。單位這個(gè)觀念并不是由每個(gè)對(duì)象
提供給我們的（洛克）。 _113
32 不過(guò)，語(yǔ)言仍然說(shuō)明了未分性與分界性的關(guān)聯(lián)，然而在這里涵義發(fā)
生了變化。 _115
33 將不可分性（ G. 科珀）作為單位的標(biāo)準(zhǔn)是不能成立的。 _117
單位是彼此相同嗎？
34 相同作為命名單位的理由。 E. 施羅德�；舨妓埂Ｐ葜�。托邁。
通過(guò)抽象掉事物的不同，人們不能獲得基數(shù)的概念。由此，事物彼
此之間也不相同。 _119
35 如果我們談?wù)摱�，差異性也是必要的。笛卡爾�?E. 施羅德，耶
芳斯。 _123
36 關(guān)于單位是差異的觀點(diǎn)也遇到了困難。耶芳斯的不同的一。 _125
37 洛克、萊布尼茨、黑塞從單位或一定義數(shù)。 _127
38 一是專名，單位是概念詞。數(shù)不能定義為單位。和
與 的區(qū)別。 _129
39 化解單位的可區(qū)別性與相等性的這個(gè)困難由于單位的多義性而
被掩蓋。 _133
克服這個(gè)困難的努力。
40 時(shí)間和空間作為區(qū)別的手段�；舨妓�、托邁。與之相對(duì)：萊布尼茨、
鮑曼、耶芳斯。 _137
41 這個(gè)目的實(shí)現(xiàn)不了。 _139
42 序列中的位置作為區(qū)別的手段。漢克爾的確定。 _141
43 施羅德通過(guò)記號(hào) 1 來(lái)摹繪對(duì)象。 _143
44 耶芳斯通過(guò)抽象掉差異的特征而保留其實(shí)存。 0 和 1 是像其他的數(shù)
一樣的數(shù)。困難依然存在。 _145
困難的解決。
45 回顧。 _151
46 數(shù)的陳述包含了一個(gè)關(guān)于概念的斷言。反對(duì)認(rèn)為數(shù)改變而概念
不變。 _153
47 數(shù)的陳述是由概念的客觀性而得以解釋的事實(shí)的陳述。 _155
48 解決幾個(gè)困難。 _157
49 斯賓諾莎的確證。 _159
50 E. 施羅德的闡釋。 _161
51 對(duì)同樣問(wèn)題的修正。 _161
52 在一種德語(yǔ)的慣用法中的確證。 _163
53 一個(gè)概念的特征和性質(zhì)之間的區(qū)別。存在與數(shù)。 _165
54 人們稱數(shù)的陳述的主詞為單位。單位的不可分性與分界性。相等與
可區(qū)分性。 _167
IV
基數(shù)這個(gè)概念
每個(gè)單個(gè)的數(shù)都是獨(dú)立的對(duì)象。
55 嘗試補(bǔ)充萊布尼茨關(guān)于單個(gè)數(shù)的定義。 _171
56 這些嘗試的定義是不可用的，因?yàn)樗鼈冋f(shuō)明了一個(gè)陳述，而數(shù)只是
這個(gè)陳述的一部分。 _173
57 數(shù)的陳述被看作數(shù)之間的一種相等。 _175
58 反對(duì)意見(jiàn)認(rèn)為，數(shù)作為一種獨(dú)立的對(duì)象是不可想象的。數(shù)根本就不
可想象。 _177
59 一個(gè)對(duì)象并不能因?yàn)椴豢上胂蠖�被排除在研究之外�?_179
60 具體事物自身并不總是可想象的。如果人們追問(wèn)語(yǔ)詞的意謂的話，
那么就必須在命題中考察語(yǔ)詞。 _181
61 反對(duì)觀點(diǎn)認(rèn)為數(shù)是非空間的。并非每種客觀的對(duì)象都是空間的。
_183
為了獲得基數(shù)的概念，人們必須確定數(shù)相等的意義。
62 我們需要一個(gè)表示數(shù)相等的標(biāo)準(zhǔn)。 _185
63 一一對(duì)應(yīng)作為標(biāo)準(zhǔn)的可能性。對(duì)定義相等的邏輯質(zhì)疑，特別是在數(shù)
這種特定事例中。 _187
64 一個(gè)類似過(guò)程的例子：方向，平面上的位置，一個(gè)三角形的圖形。
_189
65 嘗試一個(gè)定義。質(zhì)疑二：相等的法則是否充分？ _191
66 質(zhì)疑三：相等的標(biāo)準(zhǔn)是不充分的。 _195
67 我們不能補(bǔ)充說(shuō)，人們像引入對(duì)象那樣獲得概念的特征。 _197
68 基數(shù)作為概念的外延。 _199
69 說(shuō)明。 _201
我們的定義的完善與證明其價(jià)值。
70 關(guān)系概念。 _203
71 通過(guò)一種關(guān)系的對(duì)應(yīng)。 _209
72 一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系�；鶖�(shù)的概念。 _211
73 屬于概念 F 的基數(shù)等同于屬于概念 G 的基數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)歸屬于概
念 F 的對(duì)象與歸屬于概念 G 的對(duì)象之間存在一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。
_215
74 零是歸屬于與自身不相等的概念的基數(shù)。 _217
75 零是歸屬于沒(méi)有任何東西落入其下的概念的基數(shù)。如果零是這樣概
念的基數(shù)，沒(méi)有任何對(duì)象落入這樣概念之下。 _221
76 說(shuō)明n 在自然數(shù)序列中緊跟 m這樣表達(dá)式。 _223
77 1 是與零相等的概念的基數(shù)。 _225
78 借助于我們的定義證明命題。 _229
79 序列中跟隨的定義。 _231
80 評(píng)注。跟隨的客觀性。 _233
81 說(shuō)明表達(dá)式x 屬于以 y 結(jié)尾的 序列。 _235
82 關(guān)于自然數(shù)不存在最后一項(xiàng)證明的提示。 _237
83 有窮基數(shù)的定義。在自然數(shù)序列中任何一個(gè)有窮基數(shù)都不跟隨其
自身。 _239
無(wú)窮基數(shù)。
84 屬于有窮基數(shù)概念的基數(shù)是一個(gè)無(wú)窮基數(shù)。 _241
85 康托爾的無(wú)窮基數(shù)；勢(shì)。命名的不同。 _243
86 康托爾的順序中的后繼與我的序列中的跟隨。 _245
V結(jié)論。
87 算術(shù)法則的性質(zhì)。 _247
88 康德對(duì)分析判斷的低估。 _249
89 康德的命題：離開(kāi)感性，對(duì)象不能被給予�？档聦�(duì)于數(shù)學(xué)的
貢獻(xiàn)。 _251
90 對(duì)算術(shù)法則分析性質(zhì)的完整的證明缺乏一種無(wú)漏洞的推理鏈條。
_253
91 通過(guò)我的概念文字可彌補(bǔ)這一缺陷。 _255
其他的數(shù)。
92 根據(jù)漢克爾的看法，追問(wèn)數(shù)的可能性的意義。 _257
93 數(shù)既不是空間外在的東西，又不是主觀的東西。 _259
94 一個(gè)概念的無(wú)矛盾性并不能保證有任何東西落入這個(gè)概念之下，
并且概念自身需要證明。 _261
95 我們并不能立即將c - b看成解決減法問(wèn)題的記號(hào)。 _263
96 數(shù)學(xué)家也不能任意地創(chuàng)造一些東西。 _265
97 要區(qū)分概念和對(duì)象。 _267
98 漢克爾對(duì)于加法的說(shuō)明。 _267
99 形式理論的缺陷。 _269
100 以一種特定的方式擴(kuò)展乘法的意謂來(lái)說(shuō)明復(fù)數(shù)的努力。 _271
101 這樣一種證明的可能性對(duì)于一個(gè)證明的效力來(lái)說(shuō)并不是不重
要的。 _273
102 一個(gè)運(yùn)算應(yīng)該是可行的這樣純粹的要求并不是要求的滿足。 _273
103 科薩克關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)明僅是定義的引導(dǎo)，并沒(méi)有避免引入陌生的
數(shù)類。幾何的表征。 _275
104 對(duì)于新數(shù)來(lái)說(shuō)，關(guān)鍵是要確定重認(rèn)新數(shù)判斷的涵義。 _277
105 算術(shù)的魅力在于其理性的特征。 _281
106109 回顧。 _281
德中譯名對(duì)照表 _291
譯后記 _293