目錄
前言
第1章 數(shù)值分析引論 1
1.1 數(shù)值分析的作用和內(nèi)容 1
小節(jié)測試 2
1.2 誤差的來源和基本概念 2
1.2.1 誤差的來源 2
1.2.2 誤差的基本概念 3
小節(jié)測試 7
1.3 數(shù)值計算中的若干準則 7
1.3.1 算法的數(shù)值穩(wěn)定性 8
1.3.2 問題本身的性態(tài) 10
1.3.3 簡化計算步驟, 減少運算次數(shù) 11
1.3.4 數(shù)值計算中的一些其他注意事項 13
小節(jié)測試 14
1.4 章節(jié)測試 15
第2章 非線性方程求根 18
2.1 非線性方程求根的基本介紹 18
小節(jié)測試 19
2.2 二分法 19
2.2.1 二分法的具體計算過程 19
2.2.2 二分法的特點 22
小節(jié)測試 22
2.3 迭代法的一般原理 23
2.3.1 簡單迭代法 23
2.3.2 簡單迭代法的收斂性 24
2.3.3 簡單迭代法的幾何意義 27
2.3.4 簡單迭代法的局部收斂性 28
小節(jié)測試 29
2.4 牛頓迭代法 30
2.4.1 牛頓迭代公式的構(gòu)造 30
2.4.2 牛頓迭代公式的幾何意義 31
2.4.3 有重根的牛頓迭代公式 33
2.4.4 牛頓迭代法的收斂性 35
小節(jié)測試 38
2.5 弦截法 39
2.5.1 弦截法的基本思想 39
2.5.2 弦截法的收斂性 40
小節(jié)測試 42
2.6 迭代法的收斂速度 43
2.6.1 收斂階定義 43
2.6.2 收斂階判定方法 43
小節(jié)測試 45
2.7 艾特肯加速收斂算法 46
2.7.1 艾特肯加速收斂算法基本原理 46
2.7.2 艾特肯加速收斂算法的幾何意義 47
小節(jié)測試 48
2.8 案例 49
2.8.1 問題背景 49
2.8.2 數(shù)學模型 49
2.8.3 計算方法 50
2.8.4 編程實現(xiàn) 50
2.9 章節(jié)測試 51
第3章 解線性方程組的直接法 54
3.1 直接法概述 54
小節(jié)測試 55
3.2 高斯消元法 55
3.2.1 高斯消元法的基本思想 56
3.2.2 高斯消元法的計算流程及公式 57
小節(jié)測試 61
3.3 列主元消元法.62
3.3.1 列主元高斯消元法 62
3.3.2 嚴格對角占優(yōu)矩陣 64
小節(jié)測試 64
3.4 LU分解 65
3.4.1 幾種常見的LU分解 66
3.4.2 LU分解法解線性方程組 67
3.4.3 LU分解的緊湊格式.69
小節(jié)測試 72
3.5 平方根法 72
3.5.1 正定矩陣 73
3.5.2 平方根法求解線性方程組 74
小節(jié)測試 75
3.6 追趕法 76
3.6.1 三對角矩陣 76
3.6.2 追趕法求解線性方程組 77
小節(jié)測試 79
3.7 案例 80
3.7.1 問題背景 80
3.7.2 數(shù)學模型 80
3.7.3 計算方法 81
3.7.4 編程實現(xiàn) 81
3.8 章節(jié)測試 82
第4章 解線性方程組的迭代法 86
4.1 迭代法概述 86
小節(jié)測試 88
4.2 向量與矩陣的范數(shù) 88
4.2.1 向量范數(shù) 89
4.2.2 矩陣范數(shù) 91
4.2.3 譜半徑 94
小節(jié)測試 94
4.3 雅可比迭代法 95
4.3.1 雅可比迭代法的分量形式 95
4.3.2 雅可比迭代法的矩陣形式 97
小節(jié)測試 98
4.4 高斯–賽德爾迭代法 99
4.4.1 高斯–賽德爾迭代法的分量形式 99
4.4.2 高斯–賽德爾迭代法的矩陣形式 100
小節(jié)測試 101
4.5 SOR迭代法 102
4.5.1 SOR迭代法的分量形式 102
4.5.2 SOR迭代法的矩陣形式 104
小節(jié)測試 105
4.6 迭代法的收斂性 106
4.6.1 迭代法基本定理 106
4.6.2 特殊方程組迭代法收斂性 108
小節(jié)測試 110
4.7 方程組的誤差分析 111
4.7.1 方程組的性態(tài) 111
4.7.2 條件數(shù) 114
小節(jié)測試 116
4.8 案例.116
4.8.1 問題背景 116
4.8.2 數(shù)學模型 117
4.8.3 計算方法 117
4.8.4 編程實現(xiàn) 119
4.9 章節(jié)測試 120
第5章 函數(shù)插值 124
5.1 插值多項式的基本介紹 124
5.1.1 問題的提出 124
5.1.2 插值問題的數(shù)學提法 124
5.1.3 插值多項式的存在唯一性 125
5.1.4 插值多項式求解方法概述 126
小節(jié)測試 127
5.2 拉格朗日插值 127
5.2.1 拉格朗日線性插值 127
5.2.2 拉格朗日二次插值多項式 129
5.2.3 拉格朗日n次插值多項式 131
5.2.4 拉格朗日插值多項式的截斷誤差 132
小節(jié)測試 134
5.3 牛頓插值 136
5.3.1 差商 136
5.3.2 差商的性質(zhì) 136
5.3.3 利用差商表計算差商 137
5.3.4 牛頓插值公式 138
5.3.5 等距牛頓插值公式 142
小節(jié)測試 145
5.4 分段線性插值 146
5.4.1 分段線性插值問題的提出 146
5.4.2 分段線性插值的基函數(shù) 146
小節(jié)測試 149
5.5 分段埃爾米特插值 149
5.5.1 分段埃爾米特插值多項式 150
5.5.2 分段埃爾米特插值基函數(shù)的計算 150
小節(jié)測試 152
5.6 樣條插值函數(shù) 153
5.6.1 樣條函數(shù) 153
5.6.2 三次樣條函數(shù) 154
5.6.3 三次樣條函數(shù)的計算 154
小節(jié)測試 160
5.7 案例 161
5.7.1 問題背景 161
5.7.2 數(shù)學模型 162
5.7.3 計算方法 162
5.7.4 編程實現(xiàn) 164
5.8 章節(jié)測試 166
第6章 曲線擬合和函數(shù)逼近.170
6.1 曲線擬合的最小二乘法 170
6.1.1 直線擬合 170
6.1.2 一般多項式擬合 172
6.1.3 指數(shù)擬合 178
6.1.4 其他一些非線性擬合 181
小節(jié)測試 181
6.2 函數(shù)的最佳平方逼近 182
小節(jié)測試 186
6.3 案例.187
6.3.1 問題背景 187
6.3.2 數(shù)學模型 188
6.3.3 計算方法 188
6.3.4 編程實現(xiàn) 189
6.4 章節(jié)測試 191
第7章 數(shù)值積分與數(shù)值微分.194
7.1 數(shù)值積分引論 194
7.1.1 數(shù)值求積公式 194
7.1.2 插值型求積公式 196
小節(jié)測試 198
7.2 牛頓–科茨公式 199
7.2.1 牛頓–科茨公式的一般形式推導 199
7.2.2 梯形公式 201
7.2.3 辛普森公式 202
小節(jié)測試 205
7.3 復化求積公式 206
7.3.1 復化梯形公式 206
7.3.2 復化辛普森求積公式 209
7.3.3 遞推梯形公式 211
7.3.4 龍貝格求積公式 213
小節(jié)測試 216
7.4 高斯求積公式 217
7.4.1 引言 217
7.4.2 正交多項式及其性質(zhì) 219
7.4.3 高斯型積分 222
小節(jié)測試 227
7.5 數(shù)值微分 228
7.5.1 插值型求導公式 228
7.5.2 變步長中點公式 230
小節(jié)測試 232
7.6 案例 233
7.6.1 問題背景 233
7.6.2 數(shù)學模型 233
7.6.3 計算方法 234
7.6.4 編程實現(xiàn) 235
7.7 章節(jié)測試 235
第8章 常微分方程初值問題的數(shù)值解法 239
8.1 概述.239
小節(jié)測試 240
8.2 歐拉公式 241
8.2.1 顯式歐拉公式 241
8.2.2 隱式歐拉公式 244
小節(jié)測試 245
8.3 改進歐拉方法 247
8.3.1 方法原理 248
8.3.2 整體截斷誤差 250
小節(jié)測試 251
8.4 龍格–庫塔法.252
8.4.1 龍格–庫塔法的思想 252
8.4.2 二階龍格–庫塔公式 254
8.4.3 三階與四階顯式龍格–庫塔方法 257
8.4.4 常用的隱式龍格–庫塔方法 259
小節(jié)測試 260
8.5 單步方法的收斂性和穩(wěn)定性 261
8.5.1 單步方法的收斂性 261
8.5.2 單步方法的穩(wěn)定性 265
小節(jié)測試 268
8.6 案例.270
8.6.1 問題背景 270
8.6.2 數(shù)學模型 270
8.6.3 計算方法 272
8.6.4 編程實現(xiàn) 272
8.7 章節(jié)測試 275
參考文獻 280