目錄
前言
第1章 函數(shù)與模型 1
1.1 函數(shù) 1
1.1.1 函數(shù)的概念及其表示法 1
1.1.2 函數(shù)的幾種特性.6
1.1.3 函數(shù)的復(fù)合 8
1.1.4 反函數(shù) 9
1.1.5 基本初等函數(shù)與初等函數(shù) 11
習(xí)題1.1(A) 15
習(xí)題1.1(B) 16
1.2 簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型舉例 18
1.2.1 線性函數(shù)模型 18
1.2.2 指數(shù)函數(shù)模型 20
習(xí)題1.2(A) 23
習(xí)題1.2(B) 24
1.3 經(jīng)濟(jì)分析中常用的函數(shù) 25
1.3.1 需求函數(shù)與供給函數(shù) 25
1.3.2 總成本函數(shù)、總收益函數(shù)和總利潤(rùn)函數(shù) 26
習(xí)題1.3(A) 28
習(xí)題1.3(B) 28
第2章 函數(shù)極限與連續(xù) 29
2.1 極限 29
2.1.1 數(shù)列的極限 29
2.1.2 函數(shù)的極限 35
2.1.3 函數(shù)的左極限與右極限 39
2.1.4 極限的性質(zhì) 41
2.1.5 極限的運(yùn)算法則 42
習(xí)題2.1(A) 44
習(xí)題2.1(B) 46
2.2 兩個(gè)重要極限 46
習(xí)題2.2(A) 50
習(xí)題2.2(B) 51
2.3 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 51
2.3.1 無(wú)窮小量 51
2.3.2 無(wú)窮大量 52
2.3.3 無(wú)窮小量的階的比較 53
習(xí)題2.3(A) 55
習(xí)題2.3(B) 56
2.4 函數(shù)的連續(xù)性 56
2.4.1 函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù) 56
2.4.2 函數(shù)的間斷點(diǎn) 58
2.4.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 59
習(xí)題2.4(A) 61
習(xí)題2.4(B) 63
第3章 導(dǎo)數(shù)與微分 64
3.1 導(dǎo)數(shù) 64
3.1.1 導(dǎo)數(shù)概念的引入 64
3.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義 66
3.1.3 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 70
3.1.4 導(dǎo)函數(shù)定義 71
3.1.5 高階導(dǎo)數(shù) 74
習(xí)題3.1(A) 74
習(xí)題3.1(B) 76
3.2 求導(dǎo)法則 77
3.2.1 四則運(yùn)算法則 77
3.2.2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 81
3.2.3 隱函數(shù)求導(dǎo)法 84
3.2.4 由參數(shù)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 89
習(xí)題3.2(A) 90
習(xí)題3.2(B) 92
3.3 微分與線性近似.92
3.3.1 微分的定義 92
3.3.2 線性近似和近似計(jì)算 95
習(xí)題3.3(A) 96
習(xí)題3.3(B) 96
第4章 微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 97
4.1 微分中值定理 97
4.1.1 羅爾定理 97
4.1.2 拉格朗日中值定理 98
4.1.3 柯西中值定理 102
習(xí)題4.1(A) 103
習(xí)題4.1(B) 104
4.2 洛必達(dá)法則 104
4.2.1 關(guān)于*型及*型不定式的洛必達(dá)法則 105
4.2.2 其他類(lèi)型的不定式的極限 107
習(xí)題4.2(A) 111
習(xí)題4.2(B) 111
4.3 函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖形的凸性 112
4.3.1 函數(shù)單調(diào)性及其判別法 112
4.3.2 函數(shù)圖形的凸性與曲線的拐點(diǎn) 115
習(xí)題4.3(A) 119
習(xí)題4.3(B) 120
4.4 極值與優(yōu)化 121
4.4.1 函數(shù)的極值 121
4.4.2 函數(shù)的最大、最小值 124
4.4.3 最優(yōu)化問(wèn)題 125
習(xí)題4.4(A) 127
習(xí)題4.4(B) 128
4.5 相關(guān)變化率 129
習(xí)題4.5(A) 131
習(xí)題4.5(B) 131
4.6 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 132
4.6.1 邊際與邊際分析 132
4.6.2 彈性與彈性分析 134
習(xí)題4.6(A) 137
習(xí)題4.6(B) 137
第5章 不定積分 139
5.1 不定積分的概念和性質(zhì) 139
5.1.1 原函數(shù)與不定積分 139
5.1.2 不定積分的幾何意義 141
5.1.3 不定積分的性質(zhì) 141
5.1.4 基本積分公式 142
5.1.5 直接積分法 143
習(xí)題5.1(A) 144
習(xí)題5.1(B) 145
5.2 換元積分法 145
5.2.1 第一類(lèi)換元積分法 145
習(xí)題5.2.1(A).151
習(xí)題5.2.1(B) 152
5.2.2 第二類(lèi)換元積分法 152
習(xí)題5.2.2(A).156
習(xí)題5.2.2(B) 157
5.3 分部積分法 157
習(xí)題5.3(A) 161
習(xí)題5.3(B) 162
第6章 定積分及其應(yīng)用 163
6.1 定積分的概念與性質(zhì) 163
6.1.1 引例 163
6.1.2 定積分的定義 165
6.1.3 定積分的性質(zhì) 168
習(xí)題6.1(A) 170
習(xí)題6.1(B) 170
6.2 微積分基本定理 171
6.2.1 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 171
6.2.2 牛頓-萊布尼茨公式 174
習(xí)題6.2(A) 176
習(xí)題6.2(B) 177
6.3 定積分的計(jì)算方法 177
6.3.1 定積分的換元積分法 178
6.3.2 定積分的分部積分法 181
習(xí)題6.3(A) 184
習(xí)題6.3(B) 185
6.4 反常積分 185
6.4.1 無(wú)限區(qū)間上的反常積分 186
6.4.2 無(wú)界函數(shù)的反常積分 189
6.4.3 Γ函數(shù) 191
習(xí)題6.4(A) 191
習(xí)題6.4(B) 192
6.5 定積分在幾何上的應(yīng)用 192
6.5.1 元素法 192
6.5.2 平面圖形的面積 193
6.5.3 平行截面面積為已知的立體的體積 195
6.5.4 旋轉(zhuǎn)體的體積 196
習(xí)題6.5(A) 199
習(xí)題6.5(B) 200
6.6 定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 200
6.6.1 由邊際函數(shù)求總量 200
6.6.2 收入流與支出流的現(xiàn)值和將來(lái)值 202
習(xí)題6.6(A) 203
習(xí)題6.6(B) 204
第7章 微分方程與差分方程 205
7.1 微分方程的基本概念 205
習(xí)題7.1(A) 209
習(xí)題7.1(B) 209
7.2 變量可分離微分方程與齊次微分方程 210
7.2.1 變量可分離微分方程 210
7.2.2 齊次型微分方程 213
習(xí)題7.2(A) 216
習(xí)題7.2(B) 216
7.3 一階線性微分方程 216
習(xí)題7.3(A) 220
習(xí)題7.3(B) 221
7.4 可降階的二階微分方程.221
習(xí)題7.4(A) 225
習(xí)題7.4(B) 225
7.5 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 226
習(xí)題7.5(A) 228
習(xí)題7.5(B) 229
7.6 二階常系數(shù)線性微分方程 229
7.6.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 229
7.6.2 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 233
習(xí)題7.6(A) 236
習(xí)題7.6(B) 236
7.7 微分方程建模舉例 236
7.7.1 指數(shù)增長(zhǎng)(衰減)模型 236
7.7.2 阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic 模型) 239
7.7.3 捕食者-被捕食者模型 (Lotka-Volterra 模型) 241
習(xí)題7.7(A) 243
習(xí)題7.7(B) 244
7.8 差分與差分方程的概念.244
7.8.1 差分的概念 244
7.8.2 差分方程的概念 247
7.8.3 線性差分方程 247
習(xí)題7.8(A) 249
習(xí)題7.8(B) 249
7.9 一階常系數(shù)線性差分方程 249
7.9.1 一階常系數(shù)齊次線性差分方程 250
7.9.2 一階常系數(shù)非齊次線性差分方程 251
7.9.3 分期還貸模型 255
習(xí)題7.9(A) 256
習(xí)題7.9(B) 257
第8章 多元函數(shù)微分學(xué) 258
8.1 空間解析幾何簡(jiǎn)介 258
8.1.1 空間直角坐標(biāo)系 258
8.1.2 曲面及其方程 259
8.2 多元函數(shù) 262
8.2.1 區(qū)域 262
8.2.2 多元函數(shù)的概念 264
8.2.3 多元函數(shù)的極限 268
8.2.4 多元函數(shù)的連續(xù)性 270
習(xí)題8.2(A) 271
習(xí)題8.2(B) 272
8.3 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 273
8.3.1 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算 273
8.3.2 高階偏導(dǎo)數(shù) 278
8.3.3 全微分 279
習(xí)題8.3(A) 284
習(xí)題8.3(B) 286
8.4 鏈?zhǔn)椒▌t與隱式求導(dǎo)法 287
8.4.1 鏈?zhǔn)椒▌t 287
8.4.2 隱式求導(dǎo)法 293
習(xí)題8.4(A) 297
習(xí)題8.4(B) 298
8.5 多元函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題 299
8.5.1 極值與最值 299
8.5.2 條件極值的拉格朗日乘子法 304
習(xí)題8.5(A) 308
習(xí)題8.5(B) 309
第9章 二重積分 310
9.1 二重積分的概念 310
9.1.1 二重積分的定義 310
9.1.2 二重積分的性質(zhì) 313
習(xí)題9.1(A) 315
習(xí)題9.1(B) 315
9.2 二重積分的計(jì)算 317
9.2.1 二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算 317
9.2.2 二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算 322
習(xí)題9.2(A) 328
習(xí)題9.2(B) 329
第10章 無(wú)窮級(jí)數(shù)與逼近 331
10.1 無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念及性質(zhì) 331
10.1.1 基本概念 331
10.1.2 收斂級(jí)數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì) 335
習(xí)題10.1(A) 337
習(xí)題10.1(B) 338
10.2 級(jí)數(shù)的收斂判別法 339
10.2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件 339
10.2.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法 341
10.2.3 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂判別法 343
10.2.4 絕對(duì)收斂與比值判別法 344
習(xí)題10.2(A) 347
習(xí)題10.2(B) 349
10.3 冪級(jí)數(shù) 349
10.3.1 冪級(jí)數(shù)及其收斂性 349
10.3.2 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 353
習(xí)題10.3(A) 357
習(xí)題10.3(B) 358
10.4 泰勒級(jí)數(shù) 359
10.4.1 用多項(xiàng)式逼近函數(shù)——泰勒公式 359
10.4.2 泰勒級(jí)數(shù) 364
10.4.3 函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù) 366
習(xí)題10.4(A) 370
習(xí)題10.4(B) 370
附錄A Mathematica數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 372
實(shí)驗(yàn)一 Mathematica的基本操作 372
實(shí)驗(yàn)二 圖形繪制 377
實(shí)驗(yàn)三 極限 380
實(shí)驗(yàn)四 導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù) 383
實(shí)驗(yàn)五 最優(yōu)化問(wèn)題 384
實(shí)驗(yàn)六 定積分與重積分 385
實(shí)驗(yàn)七 微分方程與差分方程 386
實(shí)驗(yàn)八 級(jí)數(shù) 388
附錄B 幾種常用曲線的極坐標(biāo)方程 391