從微積分入門到考研導航
　　——高等數(shù)學：分層教學教程內(nèi)容簡介
　　高等數(shù)學是大多數(shù)大專院校各專業(yè)開設(shè)的一門公共基礎(chǔ)課.在大學的數(shù)學系里,大學生要學習數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何、常微分方程、拓撲學、實變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、偏微分方程等一二十門課程.雖然面向非數(shù)學系學生的高等數(shù)學只講大學數(shù)學系課程中的一部分教學內(nèi)容,但這些內(nèi)容卻涉及上述課程的許多方面，而且對一定的內(nèi)容(應(yīng)用方面)還要求強化訓練.高等數(shù)學要研究什么問題?大家知道,在初等數(shù)學,我們會研究這樣的問題:如果一輛汽車用3.5小時行駛了245千米路程,那么由初等代數(shù)容易求得該車的平均時速為v=245km/3.5h=70km/h.這里,時間、距離、速度都是常量.初等數(shù)學研究的對象是常量.然而在行駛過程中,汽車的速度是時常改變的,速度表上顯示的速度不一定是70km/h，有時可能是50km/h,有時可能是100km/h，或者是其他數(shù)值.假如我們知道汽車在每一時刻的位置,即是說已知位置函數(shù)s(t)——這里t是時間變量,如何確定它在任一時刻的速度v(t)呢?這里涉及微分學中的一個基本概念:導數(shù)(derivative),也就是物理學上求瞬時速度(instantaneousvelocity)的問題，或在幾何上,求函數(shù)圖形在一點的切線斜率(slopeoftangentline).在微分學中,函數(shù)v(t)叫做函數(shù)s(t)的導函數(shù)或簡稱為導數(shù).從函數(shù)s(t)計算導函數(shù)v(t)的過程稱作求導(微分).
　　讓我們繼續(xù)考慮上述問題.若我們知道的是汽車在每一時刻的速度,也就是說，已知速度函數(shù)v(t),又如何確定它在任一時刻的位置s(t)呢?這是前面的一個問題的逆問題.為了解決這樣的問題并找到位置函數(shù)s(t),我們將介紹另一個叫做積分的概念(運算),積分是積分學中最基本的概念.在積分學中,s(t)叫做v(t)的一個原函數(shù)(anti?derivative).從函數(shù)v(t)求原函數(shù)s(t)的計算過程叫做求積(積分).積分運算實際上是求一個函數(shù),使它的導函數(shù)恰是給定的函數(shù),因而積分運算是微分運算的逆運算.積分概念也最早來源于求平面圖形的面積和立體圖形的體積.微分學和積分學統(tǒng)稱為微積分學.我們將看到微分和積分這兩個核心概念(運算)被微積分基本定理巧妙而深深地聯(lián)系在一起:它表明微分和積分是兩個互逆的運算.值得注意的是,上述s(t)和v(t)都是隨時間而變化的量,故這里所研究的是變量與變量之間的關(guān)系.高等數(shù)學要研究的問題是不斷變化著的量與量之間即變量之間的關(guān)系問題.因此,高等數(shù)學研究的對象是變量,處理問題的思想方法是用變化(或運動)的觀點去分析、去研究、去解決問題.讀者將會在高等數(shù)學這門課程中反復(fù)體會到這個思想方法的運用.數(shù)學分析(微積分是其基本部分),拓撲學(也就是由研究物體幾何形狀的幾何學發(fā)展而成的點集幾何學)和抽象代數(shù)(線性代數(shù)是其一部分,另外還包括群、環(huán)、域、理想、模的結(jié)構(gòu)等)是現(xiàn)代數(shù)學的三大基礎(chǔ)。另一方面，這三個數(shù)學分支之間又是緊密相關(guān)和相互影響的，當你在用數(shù)學的方法建立模型、求解模型并最終解決一個應(yīng)用問題的時候，你將會真正地體會到這一點。幾何的基本知識對進一步學習微積分（特別是多元函數(shù)微積分學）是必要的,并且這些基本知識在整個數(shù)學中也扮演著重要角色。類似地，代數(shù)的基本方法和結(jié)果一是使用微積分解決應(yīng)用問題的必要工具,二是它們在全部數(shù)學中扮演著基礎(chǔ)的角色，起著獨特的作用.常微分方程和積分變換(拉普拉斯變換)是比微積分更高層次的獨立課程，叫做工程數(shù)學，屬于微積分的應(yīng)用。其中，我們將會看到微積分在許多工程問題上很好的、成功的應(yīng)用，我們也會看到解決實際問題的思想是直接地、緊密地和成功地與微積分相聯(lián)系。把無窮級數(shù)放在微積分應(yīng)用中,是因為許多工程問題的解通常以種種無窮級數(shù)的形式出現(xiàn)。具有上述內(nèi)容的一本書叫做高等數(shù)學，是因為它(或多或少地)覆蓋了數(shù)學的三大基礎(chǔ)和工程數(shù)學的幾個分支。
　　高等數(shù)學的核心教學內(nèi)容主要由兩部分組成:微分學和積分學(DifferentialCalculusandIntegralCalculus),簡稱為微積分學,所以與高等數(shù)學相應(yīng)的英美教材名稱是CALCULUS(微積分學).微積分在現(xiàn)代科技生活中有著廣泛的應(yīng)用.例如,牛頓(Newton)的三大運動定律可以用微分方程的形式來刻劃.這些定律改變了人們對宇宙的認識方式.再如,麥克斯韋(Maxwell)微分方程組(或積分方程組)是對電磁場結(jié)構(gòu)和電磁場理論的最完美和最準確的一個描述.因此,高等數(shù)學的教學范圍也包括一定的工程數(shù)學內(nèi)容.高等數(shù)學教學的意義，不僅在于能給讀者提供一個從事專業(yè)課程學習及進行科學研究的工具，而且更為重要的是它能夠向讀者提供一種思維方式（甚至是哲學層面上的，例如物質(zhì)、時空的概念），開拓讀者的思維，幫助讀者建立起唯物主義的世界觀，使讀者能夠用科學的思想方法和觀點去從事科學研究和技術(shù)工作.通過高等數(shù)學的學習,可以培養(yǎng)讀者的抽象思維能力、空間想象能力，養(yǎng)成辦事具有條理性的習慣，使學習者享用終身.前言教師的責任就是給學生指路.寫這本書的目的就是想在學生學習微積分的道路上，為后來的青年學生指個路.在寫作本書的過程中，感想頗多，下面只簡要作幾點說明.
　　1.關(guān)于書名。高等數(shù)學就是微積分學，其主要內(nèi)容是一元函數(shù)微積分、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用.在研究數(shù)學的道路上，人類經(jīng)過數(shù)千年的探索，特別是近四百多年以來的努力，微積分學已經(jīng)形成了比較完善、嚴謹?shù)捏w系.需要指出的是，對微積分學的發(fā)展和完善的工作，主要應(yīng)歸功于歐洲數(shù)學家.歐、美同名教科書的名字是CALCULUS(微積分學)，國內(nèi)教材一般就叫高等數(shù)學，也有叫微積分的.
　　2.本書的定位。經(jīng)管類高等數(shù)學主要介紹一元函數(shù)微積分，除此以外，經(jīng)管類與工學類的高等數(shù)學教學內(nèi)容幾乎一樣.文理兼融是高等數(shù)學教學的新趨勢：工學類課本舉經(jīng)管類的例子多了，而某些經(jīng)管專業(yè)則要求學生使用工學類的課本，目的是加強學生的數(shù)學基礎(chǔ).為了適應(yīng)時代發(fā)展對微積分教學的新要求，我們把本書寫成工學、經(jīng)管兼容的高等數(shù)學課本，為把數(shù)學當作工具使用的非數(shù)學專業(yè)的工學類、經(jīng)濟類、管理類應(yīng)用型學生提供必要的微積分知識，篇幅按照工學類、經(jīng)管類(對應(yīng)于研究生入學考試“數(shù)學一”、“數(shù)學二”、“數(shù)學三”的要求)編寫.數(shù)學就是數(shù)學，它本無文科與理科之分.數(shù)學來自人們研究自然規(guī)律的過程，又服務(wù)于解決各種實際問題之中.在本書中，我們會用95%以上的篇幅系統(tǒng)地介紹微積分的基本概念，敘述解決數(shù)學問題的思想、方法和技巧.我們希望大學生把微積分學的基本思想、概念、方法和技巧學好，至于在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用，都應(yīng)該掌握一點，作為大學一年級學生不應(yīng)有所偏頗，這樣有利于開拓思維，有利于綜合能力、創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng).
　　3.本書的特點。分層教學改革搞了十余年，國家“國民經(jīng)濟和社會發(fā)展第十二個五年規(guī)劃綱要”給我們指出了教學改革的新方向.綱要要求：“全面實施高校本科教學質(zhì)量和教學改革工程”，“創(chuàng)新教育方式，突出培養(yǎng)學生科學精神、創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新能力.”因此，我們不僅要全面提高教學質(zhì)量，而且要通過微積分的教學，在培養(yǎng)學生的科學精神、創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新能力上下工夫，為國家以后選拔培養(yǎng)應(yīng)用型高級專門人才做好鋪墊.這也是本書寫作的創(chuàng)新之處.本書的特點與教學要求：(1)講思想、講方法、講技巧，注重培養(yǎng)學生的科學精神、創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新能力.首先是教學方法的創(chuàng)新.課本中確定重積分限的“動射線法”等就是創(chuàng)新的教學方法.課本不拘泥于對知識的介紹，而是注意培養(yǎng)學生把所學知識與社會實踐相結(jié)合.例如在“導數(shù)在經(jīng)濟學中的應(yīng)用”一節(jié)中，在介紹了“均衡價格”的概念后，引導讀者“在以后的經(jīng)濟生活中不要做那種追漲殺跌的事情”.再如在“廣義積分”中討論了兩類廣義積分的正確解法后，要求“讀者有意識地培養(yǎng)自己科學的(也就是按照自然規(guī)律行事的)學習、工作態(tài)度，在生活、學習、工作中不斷尋求解決問題的正確途徑”.(2)按照全國碩士研究生入學數(shù)學考試大綱的要求編寫教材，提高教學標準，并針對不同需求的學生分層次安排教學內(nèi)容.從為絕大多數(shù)學生講授的微積分入門到為少數(shù)優(yōu)秀學生考研導航，把少量研究生入學試題作為例題，幫助讀者循序漸進地掌握微積分的基本概念與運算技巧，在大學一年級就為考研做好準備.我們把不同類別（工學類、經(jīng)管類）的素材都放入課本中，按照章節(jié)分別編排.例如，工學類可以講定積分的幾何與物理應(yīng)用；而經(jīng)管類可以講幾何與經(jīng)濟應(yīng)用.對于難易度也進行區(qū)別：課本把不需要本科生掌握的理論部分用小一個字號編排，例如許多定理和公式的證明，寫出來是為學習能力強、打算考研究生的學生選學.因此，該課本特別適合學生自學。(3)習題分層的特點.為配合分層教學的要求，在每節(jié)后的習題中，我們把題目分成基本題、一般題和提高題三個部分.其中，提高題主要是為打算考研究生的學生設(shè)計的，絕大部分精選、改編自1982年以來的考研原題，綜合程度非常高，技巧性很強.說到技巧，數(shù)學的精華和魅力之處往往就在某些技巧上，一些簡單的技巧其實就是學生必須掌握的基本運算方法.因此，習題部分的教學要求是：對于學習基礎(chǔ)較差的學生，會做基本題，能做出一般題中的大部分即可.對于學習基礎(chǔ)一般的學生，必須熟練做出基本題，會做一般題，最好把課本中的大部分例子也獨立地做下來，爭取試做一些提高題（少數(shù)提高題目比一般題目要簡單），提高自己的綜合運用基本概念和方法的能力.事實上，在難題和簡單題目之間沒有嚴格的界限，只是所謂的難題多了幾道彎，需要對基本概念掌握得非常熟練，對常用技巧要求運用自如而已.對于想考研究生的學生，必須熟練做出基本題和一般題.通過做提高題，強化基本概念，提高運算技巧，訓練抽象思維能力和綜合解決問題的能力.經(jīng)過精心挑選和編排，每一節(jié)后的提高題，只要學生學過本節(jié)及以前的知識，都應(yīng)能做出來，不需要該節(jié)后面的知識.這樣可以使學生循序漸進地學習和提高，為日后考研積累經(jīng)驗.
　　全書收集了三十多年來的各類考研題300多道.在書后的“參考答案與提示”中，關(guān)于提高題的提示，一般都給的比較詳細，其目的就是在研究生數(shù)學（微積分部分）入學考試方面關(guān)于解題的思路與方法對讀者予以指導.對于較簡單的提高題，只給答案，不給提示，以鍛煉學生的能力.我們編寫提高題，在于引導學生積極向上的能力.既照顧到學習能力強的學生的學習需求，又通過這些優(yōu)秀學生的鉆研，帶動大多數(shù)學生的學習.因為研究生入學考試是為國家選拔、培養(yǎng)高級人才做準備的專門考試，因此，提高題是僅供學生選做和自學的，任課教師沒有必要給學生講提高題，這不是本科教學階段師生必須完成的教學任務(wù).但是話說回來，如果教師從提高題中直接選取個別題目作為習題課的素材，那肯定是很好的典型例題，因為研究生入學考試試題是許多專家辛勤勞動的智慧結(jié)晶，當然是優(yōu)秀的例題.作為教科書，更多的解題方法和技巧都存在于在習題之中.如果讀者通過做每一道題，都能總結(jié)出相應(yīng)類型題目的解題方法和技巧，那么就會事半功倍.我們不想搞題海，學生也不要指望把所有的數(shù)學題都做完，因為沒有人能做完世界上的數(shù)學題目.關(guān)鍵是通過獨立做題培養(yǎng)總結(jié)解決問題規(guī)律的能力及自學能力.在書后給出了參考答案與提示（其中的方法不一定是最簡捷的）.我們不打算出課本的配套習題解答，因為習題解答只能給學生幫倒忙：一方面阻礙優(yōu)秀學生的思維，另一方面給不愿意通過艱苦學習的學生提供了偷懶的機會，貽害無窮.只要潛心研讀課本，你就一定能掌握微積分的基本思想和方法;只要你能獨立地做出基本題，獨立地做出一般題的大部分，我們認為你基本上就掌握了本科教學大綱所要求的東西;只要你能獨立地做出提高題的多一半，將會為你考研打下一個很好的基礎(chǔ).
　　4.如何學好數(shù)學�！皵�(shù)學是科學的皇后.”要想學好數(shù)學，非下苦工夫不可.學數(shù)學不能只看不練，不論你學習例題還是做習題，都要親自動手，一步一步地計算.在教學過程中，經(jīng)常有同學說“我這里看不懂”.問他你動手做了沒有？再轉(zhuǎn)一圈回來問他：懂了沒有？“懂了.”2011級有一位男同學，數(shù)學基礎(chǔ)很差，思路也是“不上道”，但他學習十分刻苦，總是問老師問題，結(jié)果期末考試得了67分.而那些學習基礎(chǔ)比他好很多的學生，因為工夫根本就沒有用到，所以考試成績二三十分甚至零分，也是不足為奇的.要想學好數(shù)學，先要學會做人.因為做人是要講原則的：要時時處處考慮到別人的利益.社會上的腐敗分子腦子里無任何原則，只有私心雜念.學數(shù)學或從事數(shù)學工作的人，出于職業(yè)習慣，一般都比較講原則，盡管他們的行事方式有時不太招人喜歡.如果你不按照原則辦事，數(shù)學工作就做不下去.數(shù)學是一門自然科學.人們研究數(shù)學的過程，就是尋找其內(nèi)在規(guī)律的過程.而一旦發(fā)現(xiàn)了具有規(guī)律性的東西，人們就要按照這個規(guī)律（即原則）走下去，否則，必然出錯.因此，我們想告訴讀者的是：要千方百計地學習掌握數(shù)學的原理和方法，堅決按照處理數(shù)學問題的原則去做題，這樣一來，經(jīng)過努力，學習數(shù)學對你就不是一件難事.通過學數(shù)學，研究事物的內(nèi)在規(guī)律，形成處理問題的科學思想和正確方法，進而把學習數(shù)學中養(yǎng)成的好的解決問題的思想方法運用到你的實際工作、生活之中.只要你心中裝著祖國，裝著人民，為人類的進步事業(yè)而學，就沒有克服不了的困難.通過學習數(shù)學，培養(yǎng)自己良好的思維習慣和堅強的意志力，學好數(shù)學，學會做人.