近世代數(shù)(又名抽象代數(shù))是現(xiàn)代數(shù)學的重要基礎，在計算機科學、信息科學、近代物理與近代化學等方面有廣泛的應用，是現(xiàn)代科學技術人員所必需的數(shù)學基礎.本書介紹群、環(huán)、域的基本理論與應用.適用于數(shù)學與應用數(shù)學、計算機科學、無線電、物理、化學、生物醫(yī)學等專業(yè)的本科生、研究生以及專業(yè)人員.
本書第1版和第2版自出版以后，以很好的可讀性受到讀者的歡迎，有的學生畢業(yè)后，從國外還寫信提出寶貴意見.本書第1版同時也得到同行的支持與好評，曾榮獲教育部優(yōu)秀教材二等獎.本著與時俱進的精神，第3版將在保持原有特色的基礎上，反映近世代數(shù)在科學技術中的最新應用，內(nèi)容也更加完整，我們力求使它不僅是一本教材，而且是一本值得收藏的參考書.
修訂情況
與第1版和第2版相比較，第3版主要作了以下修訂.
第一，增加了一些新的應用實例.比如，在1.1節(jié)中增加了保密通信問題；在2.10節(jié)中增加了有關RSA密碼系統(tǒng)的加密和解密變換的內(nèi)容；在4.3節(jié)中增加了在密碼學中很有用的離散橢圓曲線和離散對數(shù)的介紹.
第二，新增了第5章方程根式求解問題簡介.在前兩版中，雖然在第1章中都提及了這個著名的問題，但是并未作出完整回答.在第3版中，我們用一章的篇幅簡要介紹了這個問題是如何解決的.
第三，為了便于學習，每章新增了一個小結，對全章的內(nèi)容進行梳理和總結.
此外，第3版也對前兩版?zhèn)�別表述進行了修改，對部分章節(jié)的內(nèi)容作了不同程度的補充和調整，還增加了個別結論，在此不一一列舉.
學習指導
第1章預備知識，讀者應通讀一下，即使有些內(nèi)容不熟悉，也不要過多糾纏.第2章群論，是本書的核心內(nèi)容，要仔細閱讀和學習，并要注重掌握基本概念和基本的分析方法.學好了群論，對后面的環(huán)與域可起到舉一反三的作用.第3章環(huán)論，在某種程度上可以說是群的推廣，有許多類似的概念和定理，因此只需把注意力放在環(huán)和群的不同之處，可比較快地學完這一章.第4章域論，雖然域是環(huán)的一種，不必再去討論一般理論，但由于域的擴張和有限域理論在近代科學中有很多應用，所以這一章的內(nèi)容反而比較豐富.而第5章方程根式求解問題簡介，在理論上不僅把群、環(huán)、域融合在一起，而且三者結合起來，解決了當初引發(fā)近世代數(shù)誕生的方程根式求解問題.但是如果時間有限，可把第5章作為選學或自學內(nèi)容.
每節(jié)后的習題不可不做，也不一定全做，這是加深印象和測試學習效果的一個環(huán)節(jié)，先要獨立思考，后面有提示可參考.每章后的小結列出這一章的精華，不僅起到概括總結、強調重點的作用，而且可作為今后查閱之用，這是本書具有收藏價值的一個方面.至于應用的例子，隨個人的興趣和專業(yè)可以有所舍取.
本書特點
把抽象的理論寫得通俗有趣，但又不失數(shù)學的嚴格性，是本書寫作過程中追求的目標及特點之一.近世代數(shù)是我們已有的代數(shù)知識的自然發(fā)展.從我們熟知的整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)出發(fā)，由此引出群、環(huán)、域的概念，起點是很初等的.我們把一些應用問題作為“引子”提出，每章都以問題的解決作為結局，使抽象的理論體現(xiàn)出很強的應用背景和效力.
另一特點是使讀者用較少的時間學到最基本的內(nèi)容，為此，每一節(jié)圍繞一個中心問題，突出一兩個定理，而把其他的內(nèi)容作為相關的結論或例子給出，使讀者對所學內(nèi)容留下簡潔清晰的印象.全書的主要內(nèi)容適合48~60學時的教學要求.
第三個特點是“開放性”，傳統(tǒng)的近世代數(shù)書比較強調自成系統(tǒng)，有的從整數(shù)的定義講起，甚至連導數(shù)也要重新定義.本書采用“拿來主義”，一切學過的知識都可拿來就用，導數(shù)就是微積分中的導數(shù)，涉及初等數(shù)論、組合數(shù)學、圖論、密碼學等內(nèi)容都即興介紹.
本書的參考文獻列于書后，特別要指出，本書參考了著名代數(shù)學家、中國科學技術大學教授曾肯成先生20世紀80年代初在清華大學數(shù)學系的講課筆記，特此再次表示感謝.同時繼續(xù)向所有關心、支持與提供寶貴意見的讀者、同行和編輯表示衷心的感謝.
第1章引言和預備知識1
1.1幾類實際問題1
1. 一些計數(shù)問題1
2. 數(shù)字通信的可靠性問題與保密性問題5
3. 幾何作圖問題7
4. 代數(shù)方程根式求解問題8
習題1.18
1.2集合與映射9
1. 集合的記號9
2. 子集與冪集9
3. 子集的運算10
4. 包含與排斥原理10
5. 映射的概念12
6. 映射的分類13
7. 映射的復合15
8. 映射的逆16
習題1.217
1.3二元關系18
1. 二元運算與代數(shù)系統(tǒng)18
2. 二元關系19
3. 等價關系、等價類和商集19
4. 偏序和全序22
習題1.324
1.4整數(shù)與同余方程24
1. 整數(shù)的運算25
2. 最大公因子和最小公倍數(shù)25
3. 互素29
4. 同余方程及孫子定理29
習題1.434
第1章小結35
第2章群論37
2.1基本概念37
1. 群和半群37
2. 關于單位元的性質39
3. 關于逆元的性質39
4. 群的幾個等價性質40
習題2.145
2.2子群45
1. 子群45
2. 元素的階48
習題2.249
2.3循環(huán)群和生成群，群的同構50
1. 循環(huán)群和生成群50
2. 群的同構51
3. 循環(huán)群的性質53
習題2.354
2.4變換群和置換群，Cayley定理55
1. 置換群56
2. Cayley定理60
習題2.462
2.5子群的陪集和Lagrange定理62
1. 子群的陪集62
2. 子群的指數(shù)和Lagrange定理64
習題2.566
2.6正規(guī)子群和商群67
1. 正規(guī)子群的概念67
2. 正規(guī)子群的性質68
3. 商群69
4. 單群71
習題2.671
2.7共軛元和共軛子群72
1. 中心和中心化子72
2. 共軛元和共軛類73
3. 共軛子群與正規(guī)化子74
4. 置換群的共軛類75
習題2.778
2.8群的同態(tài)79
1. 群的同態(tài)79
2. 同態(tài)基本定理80
3. 有關同態(tài)的定理82
4. 自同態(tài)與自同構85
習題2.886
2.9群對集合的作用，Burnside引理87
1. 群對集合的作用87
2. 軌道與穩(wěn)定子群88
3. Burnside引理90
習題2.992
2.10應用舉例92
1. 項鏈問題93
2. 分子結構的計數(shù)問題96
3. 正多面體著色問題97
4. 開關線路的計數(shù)問題98
5. 圖的計數(shù)問題99
6. RSA密碼系統(tǒng)的加密與解密變換101
7. 二次同余方程102
習題2.10104
2.11群的直積和有限可換群104
1. 群的直積104
2. 有限可換群的結構105
習題2.11108
2.12有限群的結構，Sylow定理108
1. p子群與Sylow p子群109
2. Sylow定理109
習題2.12112
第2章小結112
第3章環(huán)論116
3.1環(huán)的定義和基本性質116
1. 環(huán)的定義116
2. 環(huán)內(nèi)一些特殊元素和性質118
3. 環(huán)的分類120
習題3.1121
3.2子環(huán)、理想和商環(huán)123
1. 子環(huán)123
2. 生成子環(huán)和生成理想126
3. 商環(huán)126
習題3.2128
3.3環(huán)的同構與同態(tài)129
1. 同構與同態(tài)129
2. 有關同態(tài)的一些定理130
3. 分式域132
習題3.3133
3.4整環(huán)中的因子分解134
1. 一些基本概念134
2. 既約元和素元135
3. 最大公因子135
習題3.4137
3.5惟一分解整環(huán)137
1. 惟一分解整環(huán)及其性質137
2. 主理想整環(huán)139
3. 歐氏整環(huán)141
習題3.5142
3.6多項式分解問題143
1. 本原多項式及其性質143
2. D［x］的分解性質144
3. 多項式的可約性判斷146
習題3.6148
3.7應用舉例148
1. 編碼問題148
2. 多項式編碼方法及其實現(xiàn)149
習題3.7153
第3章小結153
第4章域論155
4.1域和域的擴張，幾何作圖問題155
1. 域的特征和素域155
2. 擴張次數(shù)，代數(shù)元和超越元157
3. 添加元素的擴張158
4. 代數(shù)擴張與有限擴張159
5. 幾何作圖問題160
習題4.1163
4.2分裂域，代數(shù)基本定理164
1. 分裂域164
2. 代數(shù)基本定理168
習題4.2169
4.3有限域，有限幾何170
1. 有限域的構造及惟一性170
2. 有限域的元素的性質172
3. Zp\[x\]中多項式的根174
4. 有限域的子域175
5. 有限域的自同構群175
6. 有限域上的元素和多項式的性質176
7. 有限幾何177
習題4.3180
4.4單位根，分圓問題181
1. 單位根181
2. 分圓問題182
習題4.4185
第4章小結185
第5章方程根式求解問題簡介188
5.1多項式的Galois群189
1. 域和多項式的Galois群189
2. 多項式的Galois群的置換表示190
3. 多項式的Galois群的階191
4. 多項式的Galois群的計算192
習題5.1194
5.2群的可解性和代數(shù)方程的根式求解問題194
1. 群的可解性194
2. 可解群的性質196
3. 代數(shù)方程的根式可解性197
習題5.2198
第5章小結198
附錄其他代數(shù)系簡介199
1. 格與布爾代數(shù)199
2. 模的概念及例201
3. 代數(shù)201
習題202
習題提示與答案203
符號索引218
名詞索引220
參考文獻223
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